Качества и методы поиска корней квадратного уравнения
Мир организован так, что решение огромного числа задач сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Истоки уравнений имеют значительное значение для изображения разных закономерностей. Это было известно еще землемерам старого Вавилона. Астрологи и техники также были должны решать такие цели. Еще в VI столетии нашей эпохи индусский эксперт Ариабхата спроектировал базы пребывания корней квадратного уравнения. Формулы получили завершенный тип в XIX столетии.
Всеобщие определения
Рекомендуем познакомиться с главными закономерностями квадратных равенств. В целом виде сходство вполне может быть написано так:
ax2 + bx + c = 0,
Количество корней квадратного уравнения вполне может быть равно одному либо 2-м. Мгновенный тест можно провести, применяя суждение дискриминант:
D = b2 — 4ac
Исходя из рассчитанного значения принимаем:
- При D &ДжиТи; 0 есть 2 разных корня. Формула в целом виде для определения корней квадратного уравнения смотрится как (-b± √D) / (2a).
- D = 0, тогда корень 1 и отвечает значению x = -b / (2a)
- D < 0, для негативного значения дискриминанта решения уравнения нет.
Примечание: если дискриминант негативный, сравнение не имеет корней в области материальных чисел. Если алгебру увеличить до определения всеохватывающих корней, то сравнение имеет решение.
Доведем цепочку действий, доказывающую формулу пребывания корней.
Из вида уравнения, необходимо:
ax2 + bx = -c
Левую и правую части умножаем на 4a и дополняем b2, принимаем
4a2x2 + 4abx + b2 = -4ac+b2
Реорганизуем правую часть в качестве квадрата многочлена (2ax + b)2. Извлекаем треугольный корень из обоих элементов уравнения 2ax + b= -b ± √(-4ac + b2), выносим показатель b в левую часть, приобретем:
2ax = -b ± √(-4ac + b2)
Отсюда необходимо:
x = (-b ± √(b2 — 4ac))
Что и требовалось показать.
Личный пример
В отдельных случаях решение цели может упроститься. Так, при четном коэффициенте b приобретем не менее элементарную формулу.
Означим k = 1/2b, тогда формула вида корней квадратного уравнения получает тип:
x = (-k ± √(k2 — ac)) / a
При D = 0, принимаем x = -k / a
Иным приватным примером будет решение уравнения при a = 1.
Для вида x2 + bx + c = 0 истоки будут x = -k ± √(k2 — c) при дискриминанте больше 0. Для варианта когда D = 0, корень будет складываться простой формулой: x = -k.
Применение графиков
Любой человек, даже не подозревая этого, регулярно встречается с физическими, синтетическими, химическими и социальными действами, которые прекрасно описываются квадратной функцией.
Примечание: искривленная, сконструированная на основании квадратной функции, будет называться параболы.
Доведем несколько образцов.
- При расчете линии движения полета снаряда применяют качество перемещения по параболе тела, произведенного под углом к горизонту.
- Качество параболы размеренно делить нагрузку обширно применяется в архитектуре.
Осознавая всю значимость параболической функции, рассмотрим, как при помощи видео графика проверять ее качества, применяя определения «дискриминант» и «истоки квадратного уравнения».
Исходя из величины коэффициентов a и b, есть всего 6 видов расположения искривленный:
- Дискриминант позитивный, a и b имеют различные знаки. Отрасли параболы смотрят наверх, у квадратного уравнения 2 решения.
- Дискриминант и показатель b одинаковы нолю, показатель a больше нулевой отметки. График находится в позитивной зоне, сравнение имеет 1 корень.
- Дискриминант и все коэффициенты имеют позитивные значения. У квадратного уравнения нет решения.
- Дискриминант и показатель но — негативные, b — больше нулевой отметки. Отрасли видео графика нацелены вверх, у уравнения 2 корня.
- Дискриминант и показатель b одинаковы нолю, показатель a — негативный. Сказка глядит вверх, у уравнения 1 корень.
- Значения дискриминанта и всех коэффициентов — негативные. Решений нет, значения функции целиком в негативной зоне.
Примечание: вариант a = 0 не рассматривается, в связи с тем что тогда сказка дегенерирует в непосредственную.
Все сказанное прекрасно объясняет чертеж, показанный ниже.
Образцы решения задач
Требование: применяя всеобщие качества, составьте квадратное сравнение, истоки которого одинаковы между собой.
Решение:
по критерию цели x1 = x2, либо -b + √(b2 — 4ac) / (2a) = -b + √(b2 — 4ac) / (2a). Упрощаем запись:
-b + √(b2 — 4ac) / (2a) — (-b — √(b2 — 4ac) / (2a)) = 0, открываем скобки и приводим такие участники. Сравнение получает тип 2√(b2 — 4ac) = 0. Это заявление правильно, когда b2 — 4ac = 0, отсюда b2 = 4ac, тогда значение b = 2√(ac) подставляем в сравнение
ax2 + 2√(ac)x + c = 0, в приведенном виде принимаем x2 + 2√(c / a)x + c = 0.
Ответ:
при a не равном 0 и любом c есть лишь одно решение, если b = 2√(c / a).
Квадратные уравнения при всей собственной простоте имеют огромное значение в технических расчетах. Почти любой физический процесс можно представить с определенным приближением, применяя чинные функции порядка n. Квадратное сравнение будет первым подобным приближением.